交换代数学习笔记 (1)

最近在读 Atiyah 的《交换代数导论》(Introduction to Commutative Algebra)。 第一章 Rings and Ideals 不难，有抽代基础的话应该很容易。第二章我刚刚看完，有的地方还没太理解（接下来刷一刷习题好了）。这一篇 Blog 是第一章的总结。

$$ \gdef\Ker{\operatorname{Ker}} \gdef\Image{\operatorname{Im}} \gdef\Hom{\operatorname{Hom}} $$

既然是笔记，那我还是大概把定义总结一下好了。

Chapter 1. Rings and Ideals 总结

环和理想

定义一个环 ring 是同时具有加法阿贝尔群和乘法半群结构，并且满足左右分配律 $(x+y)z=xz+yz;x(y+z)=xy+xz$ 的集合。本书中只考虑（乘法）交换并且有（乘法）单位元的环。

一个环同态 ring homomorphism 是环之间保持加法、乘法、单位元的映射。显然两个环同态的复合还是环同态。

$S$ 是 $R$ 的子环 subring 是说 $S$ 是 $R$ 中一个关于加法和乘法封闭的、包含单位元的子集。

$A$ 的一个理想 ideal $\mathfrak{a}$ 是一个 $A$ 的对加法封闭的非空子集，且 $A\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{a}$. 给定一个理想，那么所有 $\mathfrak{a}$ 的陪集（i.e. $A$ 中的元素在 $x\sim y\iff x-y\in\mathfrak{a}$ 这样的等价关系下形成的等价类）构成一个环，称为商环 quoetient Ring $A/\mathfrak{a}$。

$A$ 的所有包含 $\mathfrak{a}$ 的理想与 $A/\mathfrak{a}$ 的所有理想一一对应。

若 $A$ 中 $x$ 与某个非零元素的乘积为 $0$，则称 $x$ 为零因子 zero-divisor。不包含非零零因子的环叫做整环 integral domain。

如果一个元素 $x$ 的某个幂为 $0$（i.e. 存在 $n>0$ 使得 $x^n=0$），则称其为幂零的 nilpotent。

如果对某个元素 $x$ 存在 $y$ 使得 $xy=1$，那么 $x$ 称为一个单位 unit，$y$ 由 $x$ 唯一确定，记做 $x^{-1}$。$A$ 的所有单位构成一个乘法阿贝尔群。

固定 $x\in A$，所有 $ax\;(a\in A)$ 构成 $A$ 的一个理想，称为主理想 principal ideal，记做 $(a)$。$x$ 是单位当且仅当 $(x)=A=(1)$。零理想 zero ideal $(0)$ 通常记做 $0$。

素理想和极大理想

若 $A$ 的每个非零元素都是单位，那么称其为一个域 field。显然域都是整环。其等价条件包括：

• $A$ 仅包含 $0,(1)$ 两个理想。
• 对任意的非零环 $B$，所有 $A\to B$ 的环同态都是单射。

$A$ 中的一个理想 $\mathfrak{p}$ 被称为素的 prime 当且仅当 $\mathfrak{p}\neq(1)$ 且对任意的 $xy\in\mathfrak{p}$，都有 $x\in\mathfrak{p}$ 或者 $y\in\mathfrak{p}$ 至少之一成立。一个理想 $\mathfrak{m}$ 称为极大的 maximal 当且仅当 $\mathfrak{m}\neq(1)$ 并且不存在理想 $\mathfrak{a}$ 使得 $\mathfrak{m}\subsetneq\mathfrak{a}\subsetneq(1)$。或者等价地：

• $\mathfrak{p}$ 是素理想 $\iff A/\mathfrak{p}$ 是整环。
• $\mathfrak{m}$ 是极大理想 $\iff A/\mathfrak{m}$ 是域。

若无特殊说明，接下来 $\mathfrak{p,m}$ 均分别指代某个素理想/极大理想。

于是显然极大理想都是素的，反过来不一定成立。

利用佐恩引理（等价于选择公理）可以证明：每个环 $A$ 至少拥有一个极大理想。推论：

• 对每个理想 $\mathfrak{a}\neq(1)$，都存在一个包含它的极大理想。（将上述结论应用到 $A/\mathfrak{a}$ 上即可）。
• 对 $A$ 的每个非单位 $x$，都存在一个包含它的极大理想（将上一条应用到 $(x)$ 上）。

如果 $A$ 仅包含一个极大理想 $\mathfrak{m}$，那么称 $A$ 为局部环 local ring，$k=A/\mathfrak{m}$ 叫做 $A$ 的剩余域 residue field。

如果整环 $A$ 的所有理想都是主理想，那么称之为主理想整环 principal integral domain。这样的环里所有素理想都是极大的。

令 $\mathfrak{R}$ 表示 $A$ 中所有幂零元素构成的子集，那么它是一个理想并且 $A/\mathfrak{R}$ 不包含非零的幂零元。$\mathfrak{R}$ 被称作 $A$ 的 幂零根 nilradical。可以证明它同时也是 $A$ 中所有素理想的交。

类似的，$A$ 中所有极大理想的交 $\mathfrak{R}$ 称为 Jacobson根 Jacobson radical。$x\in\mathfrak{R}\iff$ 对于任意的$y\in A$，$1-xy$ 都是单位。

环 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 的有限直积 direct product $\prod_{i=1}^n A_i$ 定义为所有 $(x_1,\dots,x_n)\;(x_i\in A_i)$ 构成的环，加法和乘法定义为逐项相加/相乘。

理想的运算

如果 $\mathfrak{a,b}$ 都是 $A$ 的理想，那么它们的和 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 也是 $A$ 的理想，并且是最小的同时包含两者的理想。更一般的可以定义 $\sum_{i\in I}\mathfrak{a}_i$，由所有的 $\sum_{i\in I}x_i$ 构成，其中 $x_i\in\mathfrak{a}_i$ 并且只有有限个 $x_i$ 非零。这是包含所有 $\mathfrak{a}_i$ 的最小理想。

对于 $A$ 的一族理想 $(\mathfrak{a}_i)_{i\in I}$，它们的交 $\bigcap_{i\in I}\mathfrak{a}_i$ 也是 $A$ 的理想。

理想的乘积 $\mathfrak{ab}$ 定义为所有的 $xy\;(x\in\mathfrak{a},y\in\mathfrak{b})$ 生成的理想，i.e. 所有形如 $\sum_i x_iy_i$ 的有限和。同样的我们可以定义任意有限的一族理想的乘积。

例子：在 $\mathbb Z$ 里所有理想都是主理想 $(n)$。此时有 $(n)+(m)=(\gcd(n,m)),(n)\cap(m)=(\mathop{\rm lcm}(n,m)),(n)(m)=(nm)$。

这三种运算都是交换、结合的，并且有分配率 $\mathfrak{a(b+c)=ab+ac}$。在 $\mathbb Z$ 中我们有 $\mathfrak{(a+b)(a\cap b)=ab}$，但是一般地我们只知道右边包含左边。这可以推出 $\mathfrak{a\cap b=ab\iff\ a+b}=(1)$。

当 $\mathfrak{a+b}=(1)$ 时我们称 $\mathfrak{a,b}$ 互素 coprime（或者“互极大” comaximal）。

对于一列理想 $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n$，定义一个映射

$$\phi:A\to\prod_{i=0}^n(A/\mathfrak{a}_i)$$

为 $\phi(x)=(x+\mathfrak{a}_1,\dots,x+\mathfrak{a}_n)$，那么：

• 若 $\mathfrak{a}_i$ 两两互素，则 $\prod\mathfrak{a}_i=\bigcap\mathfrak{a}_i$。
• $\phi$ 是满射 $\iff\mathfrak{a}_i$ 两两互素。
• $\phi$ 是单射 $\iff\bigcap_i\mathfrak{a}_i=0$。

此外有命题：

• 若 $\mathfrak{a}\subseteq\bigcup_{i=1}^n\mathfrak{p}_i$，那么存在一个 $i$ 使得 $\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{p}_i$。
• 若 $\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{a}_i\subseteq\mathfrak{p}$，那么存在一个 $i$ 使得 $\mathfrak{a}_i\subseteq\mathfrak{p}$。如果 $\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{a}_i=\mathfrak{p}$，那么存在一个 $\mathfrak{a}_i=p$。

定义两个理想的商 ideal quotient $(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})$ 为所有使得 $x\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a}$ 的元素构成的理想。特别的，$(0:\mathfrak{b})$ 称为 $\mathfrak{b}$ 的零化子 annihilator，记做 $\mathop{\rm Ann}(\mathfrak{b})$。

一个理想 $\mathfrak{a}$ 的 根 radical 定义为 $r(\mathfrak{a})=\{x\in A\mid x^n\in\mathfrak{a}\text{ for some } n>0\}$。如果 $\phi:A\to(A/\mathfrak{a})$ 是标准同态，那么 $r(\mathfrak{a})=\phi^{-1}(\mathfrak{R}_{A/\mathfrak{a}})$ 也是 $A$ 的理想。

某些记号中将 $r(\mathfrak{a})$ 记做 $\sqrt{\mathfrak{a}}$。

命题：

• $$\mathfrak{a}\subseteq(\mathfrak{a}:\mathfrak{b});\;(\mathfrak{a}:\mathfrak{b})\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a};\;((\mathfrak{a}:\mathfrak{b}):\mathfrak{c})=(\mathfrak{a}:\mathfrak{bc})$$
• $$\left(\bigcap_i\mathfrak{a}_i:\mathfrak{b}\right)=\bigcap_i(\mathfrak{a}_i:\mathfrak{b})$$
• $$\left(\mathfrak{a}:\sum_i\mathfrak{b}_i\right)=\bigcap_i(\mathfrak{a}:\mathfrak{b}_i)$$
• $$r(\mathfrak{a})\supseteq\mathfrak{a};\;r(r(\mathfrak{a}))=r(\mathfrak{a});\;r(\mathfrak{ab})=r(\mathfrak{a\cap b})=r(\mathfrak{a})\cap r(\mathfrak{b})$$
• $$r(\mathfrak{a})=(1)\iff\mathfrak{a}=(1);\;r(\mathfrak{a+b})=r(r(\mathfrak{a})+r(\mathfrak{b}))$$
• 对任意正整数 $n$，$r(\mathfrak{p}^n)=\mathfrak{p}$。
• $r(\mathfrak{a})$ 是所有包含 $\mathfrak{a}$ 的素理想的交。

理想的扩张与收缩

令 $f:A\to B$ 为一个环同态。如果 $\mathfrak{a}\subseteq A$ 是一个理想，那么 $f(\mathfrak{a})$ 不一定是理想。定义 $\mathfrak{a}$ 的扩张 extension $\mathfrak{a}^e$ 为 $B$ 中由 $f(\mathfrak{a})$ 生成的理想。

如果 $\mathfrak{b}\subseteq B$ 是一个理想，那么 $f^{-1}(\mathfrak{b})$ 也一定是 $A$ 的理想，称为 $\mathfrak{b}$ 的收缩 contraction，记做 $\mathfrak{b}^c$。如果 $\mathfrak{b}$ 是素的，那么 $\mathfrak{b}^c$ 也是素的。反过来如果 $\mathfrak{a}$ 是素的那么 $\mathfrak{a}^e$ 不一定是素的。对于扩张与收缩有以下命题：

• $$\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{a}^{ec},\mathfrak{b}\supseteq\mathfrak{b}^{ce}$$
• $$\mathfrak{a}^e=\mathfrak{a}^{ece},\mathfrak{b}^c\supseteq\mathfrak{b}^{cec}$$
• 如果令 $C=\{\mathfrak{b}^c\mid\mathfrak{b}\subseteq B\text{ is an ideal}\},E=\{\mathfrak{a}^e\mid\mathfrak{a}\subseteq A\text{ is an ideal}\}$，那么就有 $C=\{\mathfrak{a}\mid \mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}\},E=\{\mathfrak{b}\mid\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b}\}$，并且 $C$ 到 $E$ 由扩张和收缩形成一一对应。

在特殊情况下，如果 $f$ 是满射，那么 $\mathfrak{a}^e=f(\mathfrak{a}),\mathfrak{b}^{ce}=\mathfrak{b},\mathfrak{a}^{ec}=\mathfrak{a}+\Ker f$。$f$ 是单射的情况很复杂。

理想的五种运算（加法，乘法，交，商，根）的扩张与收缩也有一定性质（等于，包含，包含于），这里暂不赘述。